Die Kehrwertregel ist ein wichtiges Werkzeug für die Differentialrechnung. Sie ermöglicht es uns, die Ableitung von Funktionen zu berechnen, die invers zu einer anderen Funktion sind.
In diesem Artikel zeigen wir dir Schritt für Schritt, wie du die Kehrwertregel anwendest. So kannst auch du bald die Ableitung komplexer Funktionen berechnen!
Die Kehrwertregel besagt, wie der Kehrwert einer Funktion abgeleitet wird. Sie lautet:
In Worten: Die Ableitungs des Kehrwerts einer Funktion, ist der negative Quotient aus der Ableitung der Funktion und dem Quadrat der Funktion.
Anwendung und Beispiele für die Kehrwertregel
Als erstes Beispiel für die Kehrwertregel betrachten wir die Ableitung von:
Dafür bilden wir zunächst einmal die Ableitung des Nenners:
Jetzt setzen wir in die Kehrwertregel ein und erhalten:
Als nächstes schauen wir uns noch die Ableitung des Kehrwerts von Cosinus an:
Herleitung der Kehrwertregel
Die Kehrwertregel lässt sich aus der Kettenregel herleiten. Hierfür betrachten wir die abzuleitende Funktion als Verknüpfung von zwei anderen Funktionen:
Mit der Funktion h als:
Gemäß der Kettenregel folgt daraus:
Zusammenfassung
Die Kehrwertregel ist besonders nützlich, wenn wir die Ableitung von komplizierteren Funktionen berechnen wollen. Denn oft ist es einfacher, die Ableitung der inverse Funktion zu berechnen und dann diese umzudrehen. Nehmen wir als Beispiel die Ableitung der quadratischen Funktion. Die Kehrwertregel sagt uns, dass wenn wir die Ableitung von f(x) berechnen, also von x^2, dann können wir diese umkehren und erhalten so die Ableitung der inverse Funktion: (1/x^2)‘ = -1/x^3.
Dies ist besonders nützlich, weil es oft einfacher ist, die Ableitung einer inversen Funktion zu berechnen. Wenn wir also beispielsweise die Ableitung von y=4/(x-3) berechnen wollen, können wir dies über y=(1/4)(1/(x-3))‘ machen und uns so den Aufwand sparen.