Die Kettenregel für Ableitungen besagt, wie verknüpfte Funktionen abgeleitet werden. Sie lautet:
Verknüpfte Funktionen werden also abgeleitet, indem man zuerst die Ableitung der äußeren Funktion bildet, in diese Ableitung die innere Funktion unverändert einsetzt und anschließend das Ergebnis noch einmal mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert. In Kurzform kann man sich die Kettenregel merken als: „Innere Ableitung mal äußere Ableitung“.
Anwendungen und Beispiele für die Kettenregel
Sehen wir uns als ersten Beispiel diese Funktion an:
In dieser Funktion sind zwei Funktionen verknüpft:
Dabei ist f die äußere und g die innere Funktion. Um die Ableitung von h zu bilden, leiten wir zunächst f und g einzeln ab:
Jetzt bilden wir die Ableitung von h, indem wir g in f’ einsetzen und das Ergebnis mit g’ multiplizieren:
Als nächstes sehen wir uns diese Funktion an:
Wieder liegen hier zwei verknüpfte Funktionen vor. Es sind:
Und wir bilden zunächst wieder die Ableitungen dieser beiden Funktionen:
Einsetzen in die Kettenregel ergibt:
Mehrfache Anwendung der Kettenregel
Wenn mehr als nur zwei Funktionen verkettet werden, ist es notwendig, die Kettenregel mehrfach anzuwenden. Wenn wir uns allerdings an Vorgehen halten, das oben gezeigt wird, ist das kein Problem. Betrachten wir als Beispiel den Ausdruck:
Wir sehen uns zunächst an, aus welchen Funktionen dieser Ausdruck zusammengesetzt ist:
Insgesamt gilt also:
Um diesen Ausdruck abzuleiten, bilden wir als Erstes die Ableitungen der drei verknüpften Funktionen:
Wir leiten den Ausdruck jetzt „von außen nach innen“ ab. Mit der Kettenregel gilt:
In diese Gleichung setzen wir die verknüpften Funktionen und ihre Ableitungen ein:
