Die Produktregel besagt, wie die Ableitung von einem Produkt zweier Funktionen gebildet wird. Sie lautet:
In Worten lautet die Produktregel:
Das Produkt zweier Funktionen wird abgeleitet, indem man das Produkt aus der Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten Funktion zum Produkt der ersten Funktion mit der Ableitung der zweiten Funktion addiert.
Beispiele für die Produktregel
Am anschaulichsten ist die Produktregel, wenn wir sie uns an einigen Beispielen ansehen. Beginnen wir mit:
In diesem Beispiel lauten die beiden Funktionen, die miteinander multipliziert werden:
Wir bilden jeweils die Ableitung:
und:
Mit der Produktregel folgt:
Als nächstes sehen wir uns diese Funktion an:
Zunächst leiten wir beide Faktoren wieder jeweils einzeln ab:
Mit Hilfe der Produktregel bilden wir jetzt die Ableitung des Produktes:
Mehrfache Anwendung der Produktregel
Wir können die Produktregel natürlich auch mehrfach anwenden, wenn wir eine Funktion ableiten sollen, die das Produkt von drei oder mehr Funktionen ist. Sehen wir uns beispielsweise diese Funktion an:
Im ersten Schritt setzen wir Klammen, um zu bestimmen, in welcher Reihenfolge wir die einzelnen Faktoren ableiten:
Den ersten Faktor können wir direkt ableiten. Der zweite Faktor – das Produkt in der Klammer – leiten wir wieder über die Produktregel ab:
Jetzt erhalten wir insgesamt:
Die Produktregel wenden wir in der ersten Termumformung an. In den weiteren Termumformungen vereinfachen wir die Formel nur noch.