Autor: Loki

• Beispiele für die Quotientenregel
• Herleitung der Quotientenregel

Die Quotientenregel besagt, wie der Quotient zweier Funktionen abgeleitet wird. Sie lautet:

In der Kurzschreibweise wird die Quotientenregel häufig auch so notiert.

Beispiele für die Quotientenregel

Die Quotientenregel wird am besten an ein paar Beispielen deutlich. Als erstes wollen wir dafür diesen Bruch ableiten:

Zunächst leiten wir Zähler und Nenner jeweils einzeln ab. Die Ableitung des Zählers ist:

Und die Ableitung des Nenners lautet:

Wenn wir die Ableitungen in die Formel für die Quotientenregel einsetzen, erhalten wird:

Als nächstes sehen wir uns die Ableitung für den Tangens an. Da der Tangens als Quotient aus Sinus und Cosinus gebildet wird, können wir die Quotientenregel für die Ableitung nutzen:

Herleitung der Quotientenregel

Mit der Kehrwertregel können wir die Quotientenregel als Spezialfall der Produktregel herleiten. Dafür betrachten wir den Quotienten der beiden Funktionen als Produkt des Zählers mit dem Kehrwert des Nenners:

Unter Anwendung der Quotientenregel erhalten wir:

• Grundlagen der Prozentrechnung
• Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert
  • Berechnung des Prozentsatzes
  • Berechnung des Prozentwertes
  • Berechnung des Grundwertes
• Anwendung der Prozentrechnung
• Verschiedene Beispiele zur Prozentrechnung
  • Gehaltsteigerung
  • Erhöhung und Senkung um denselben Prozentsatz
  • Verschiedene Prozentsätze
• Wie lernt man Prozentrechnen am besten?

Unter der Prozentrechnung versteht man das Rechnen mit Prozenten. Die Prozente geben hierbei das Verhältnis zweier Größen in Hundertsteln an. Grundlegend für die Prozentrechnung sind in allen Formeln die Begriffe Prozentsatz, Prozentwert und Grundwert. Bei jeder für die Prozentrechnung wichtige Formel spielen sie eine Rolle. Nach einigen Formeln, die die Verwendung des Prozentzeichens veranschaulichen, werden die Formeln für die Grundbegriffe des Prozentrechnens dargestellt.

Grundlagen der Prozentrechnung

Das Prozentzeichen entspricht der Division durch Hundert. Die Angabe „x Prozent“ kann deshalbt auch als „x Hundertstel“ verstanden werden Die folgenden Formeln veranschaulichen die Verwendung des Prozentzeichens:

Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert

Die Begriffe Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert liegen allen Formeln der Prozentrechnung zu Grunde. Prozentwert und Grundwert haben dabei stets dieselbe Einheit, während der Prozentsatz eine einfache Zahl ist. Die folgenden Formeln veranschaulichen den Zusammenhang dieser drei Begriffe:

Achtung: Das Prozentzeichen darf nicht mit einer Einheit wie „Meter“ oder „Gramm“ verwechselt werden. Die Multiplikation, bzw. Division mit 100% in den obigen Formeln dient nur der Veranschaulichung. Da 100% = 1 ist, ändert sie nichts am Ergebnis.

Einge Beispielrechnungen sollen die Verwendung der Formeln zur Prozentrechnung verdeutlichen:

Berechnung des Prozentsatzes

Der Prozentsatz gibt das Verhältnis von Prozentwert zu Grundwert in Prozent an. Er wird berechnet, indem der Prozentwert durch den Grundwert geteilt und mit 100 Prozent multipliziert wird.

Angenommen es soll berechnet werden, wie viel Prozent vier Kilogramm von 20 Kilogramm sind. Die vier Kilogramm entsprechen hier dem Prozentwert, die 20 Kilogramm dem Grundwert. Der Prozentsatz berechnet sich folgendermaßen:

Berechnung des Prozentwertes

Der Prozentwert gibt an wie viel der durch den Prozentsatz bestimmte Teil einer Menge wert ist, deren Grundwert bekannt ist. Er wird berechnet, indem Grundwert und Prozentsatz multipliziert und durch einhundert Prozent dividiert werden.

Gehören zum Beispiel Herrn Müller 23 Prozent eines Grundstückes und das Grundstück ist 500.000 Euro Wert, so kann er berechnen, wie viel sein Anteil des Grundstückes Wert ist. Die 23 Prozent bilden den Prozentsatz. Die 500.000 Euro den Grundwert. Der Wert seines Anteils entspricht dem Prozentwert. Diesen berechnet er so:

Berechnung des Grundwertes

Wenn der Wert eines Anteils (Prozentwert) und die Größe dieses Anteils im Verhältnis Gesamtmenge (Prozentsatz) bekannt sind, gibt der Grundwert den Wert der Gesamtmenge an. Der Grundwert wird berechnet, indem der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt und mit einhundert Prozent multipliziert wird.

Fährt man beispielsweise mit dem Auto auf der A7 von Hamburg über Hannover nach Ulm, so beträgt die Strecke von Hamburg nach Hannover etwa 160 Kilometer. Dies entspricht etwa 23 Prozent der Gesamtstrecke. Wie weit ist die Fahrt von Hamburg nach Ulm insgesamt? Die Strecke von Hamburg nach Hannover ist ein Teil der Gesamtstrecke und entspricht damit dem Prozentwert. Ihr Verhältnis zur Gesamtstrecke (23 Prozent) sind der Prozentsatz. Die Gesamtstrecke nach Ulm entsprechen dem Gesamtwert

Anwendung der Prozentrechnung

Prozentrechnung ist vor allem dort wichtig, wo die Größe einer Teilmenge ins Verhältnis zur Gesamtmenge gesetzt wird. Ein Beispiel hierfür sind Wahlergebnisse, die immer in Prozent angegeben werden. So sagt man beispielsweise, dass bei der Bundestagswahl 2017 11,7 Prozent aller Wahlberechtigten in Hamburg und 9 Prozent aller Wahlberechtigten in Bayern den Grünen ihre Erststimme gegeben haben.

Würde man dagegen absolute Zahlen angeben, könnte man sagen, dass die Grünen in Hamburg 114.485 Erststimmen und in Bayern 661.356 Erststimmen bekommen haben. Auf diese Weise wären die Ergebnisse aber schlecht vergleichbar. Auf den ersten Blick sieht es so aus, als ob das Ergebnis der Grünen in Bayern beinahe sechsmal so gut war wie in Hamburg. Die Ergebnisse lassen sich aber erst richtig vergleichen, wenn man sie ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Wähler in beiden Bundesländern setzt (1.296.656 in Hamburg und 9.522.371 Bayern).

In den prozentualen Wahlergebnissen ist die absolute Zahl der Stimmen schon ins Verhältnis zur Gesamtzahl der Wähler gesetzt. Die prozentualen Wahlergebnisse für verschiedene Regionen oder in verschiedenen Wahlen sind so viel einfacher zu vergleichen. Hierbei entspricht das prozentuale Wahlergebnis dem Prozentsatz, die absolute Zahl der Stimmen dem Prozentwert und die Gesamtheit aller Wähler dem Grundwert.

Verschiedene Beispiele zur Prozentrechnung

Steigung: Von Straßen oder Schienen sagt man manchmal, sie würden um einen bestimmten Prozentsatz steigen. In diesem Fall gibt die Prozentangabe das Verhältnis des vertikalen Höhenunterschieds (h) zur horizontal zurückgelegten Strecke (s) an. Die Formel hierfür lautet:

Beträgt die Steigung also 7,5 % und werden 1,5 Kilometer zurückgelegt, beträgt der Höhenunterschied (h) demnach:

Während der Fahrt über 1,5 Kilometer wurden also 112,5 Höhenmeter überwunden.

Gehaltsteigerung

Wenn das Gehalt von einem auf das nächste Jahr um 5 Prozent steigt, bedeutet dies, dass das neue Gehalt 105 Prozent des alten entspricht. Es wird folgendermaßen berechnet:

Für die Berechnung einer Steigerung um einen bestimmten Prozentsatz, muss man diesen Prozentsatz zu hundert addieren und mit dem Grundwert multiplizieren.

Erhöhung und Senkung um denselben Prozentsatz

Ein häufiger Irrtum im Rechnen mit Prozenten entsteht, wenn mehrere zeitliche Änderungen in Prozentsätzen angegeben werden. Hierbei wird fälschlicherweise der Prozentsatz häufig nur auf den ersten Wert angewendet. Tatsächlich muss die Prozentangabe aber immer auf den aktuellen Wert angewendet werden. Spricht man beispielsweise davon, dass der Preis für eine Ware erst um 10 Prozent steigt und danach um 10 Prozent sinkt, ist er hinterher entgegen der Intuition nicht wieder derselbe. An einer einfachen Beispielaufgabe wird dies schnell ersichtlich. Der ursprüngliche Preis P₀ beträgt hier 40 Euro. Er steigt zunächst um 10 Prozent und beträgt danach:

Wenn der Preis wieder um zehn Prozent sinkt, beträgt er:

Wie man sieht ist der Preis nach der Senkung um 10 Prozent um 40 Cent niedrieger als der ursprüngliche Preis.

Verschiedene Prozentsätze

Ein weiteres häufiges Missverständnis entsteht, wenn mehrere Prozentsätze in derselben Rechnung verwendet werden. Nehmen wir beispielsweise an, der Frauenanteil in einem Unternehmen betrug bisher 10 Prozent. Nach einigen Maßnahmen von Seiten der Personalabteilung, beträgt er heute 20 Prozent. Dann ist der Anteil der Frauen einerseits um 10 Prozent gesteigen, andererseits ist die absolute Zahl der Mitarbeiterinnen um 100 Prozent gestiegen. Die beiden Prozentangaben dürfen nicht verwechselt werden. Zur besseren Unterscheidung spricht man deshalb davon, dass der Anteil um 10 Prozentpunkte gestiegen sei.

Wie lernt man Prozentrechnen am besten?

Nicht nur für die Schule, sondern vor allem auch für den praktischen Alltag ist es wichtig, die für die Prozentrechnung wichtigsten Formeln auswendig zu kennen und sicher zu beherrschen. Wie die Beispiele, die oben genannt wurden, zeigen, spielt das Rechnen mit Prozenten in vielen praktischen Bereichen eine wichtige Rolle. Immer wieder kann man mit der Prozentrechnung Aufgaben lösen, die sich ansonsten als äußerst schwierig darstellen. Da Zeitungen und anderen Medien sehr häufig wichtige Daten in Prozenten angeben, ist zudem wichtig, dass man für ihre Prozentrechnung eine Erklärung hat. Wenn man die Daten nämlich erst einmal hinterfragt, stellen sie sich häufig als mangelhaft oder bei weitem nicht so aussagekräftig dar, wie es die Medien gerne verbreiten. Auch für käufmännische Berufe ist diese Art der Rechnung von Bedeutung. Unter anderem basiert die gesamte Zinsrechnung auf dem Rechnen in Hundertstel. Schüler, die sich für solche Berufe interessieren sollten schon früh die Prozentrechnung mit Excel üben, da dies das bei weitem wichtigste Hilfsmittel im kaufmännischen Büro ist. Schließlich ist festzuhalten, dass auch bei der Prozentrechnung nur Übungen weiterhelfen, sie sicher zu beherrschen.

• Beispiele für die Produktregel
• Mehrfache Anwendung der Produktregel

Die Produktregel besagt, wie die Ableitung von einem Produkt zweier Funktionen gebildet wird. Sie lautet:

In Worten lautet die Produktregel:

Das Produkt zweier Funktionen wird abgeleitet, indem man das Produkt aus der Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten Funktion zum Produkt der ersten Funktion mit der Ableitung der zweiten Funktion addiert.

Beispiele für die Produktregel

Am anschaulichsten ist die Produktregel, wenn wir sie uns an einigen Beispielen ansehen. Beginnen wir mit:

In diesem Beispiel lauten die beiden Funktionen, die miteinander multipliziert werden:

Wir bilden jeweils die Ableitung:

und:

Mit der Produktregel folgt:

Als nächstes sehen wir uns diese Funktion an:

Zunächst leiten wir beide Faktoren wieder jeweils einzeln ab:

Mit Hilfe der Produktregel bilden wir jetzt die Ableitung des Produktes:

Mehrfache Anwendung der Produktregel

Wir können die Produktregel natürlich auch mehrfach anwenden, wenn wir eine Funktion ableiten sollen, die das Produkt von drei oder mehr Funktionen ist. Sehen wir uns beispielsweise diese Funktion an:

Im ersten Schritt setzen wir Klammen, um zu bestimmen, in welcher Reihenfolge wir die einzelnen Faktoren ableiten:

Den ersten Faktor können wir direkt ableiten. Der zweite Faktor – das Produkt in der Klammer – leiten wir wieder über die Produktregel ab:

Jetzt erhalten wir insgesamt:

Die Produktregel wenden wir in der ersten Termumformung an. In den weiteren Termumformungen vereinfachen wir die Formel nur noch.

• Grundlegende Potenzregeln
• Lösungregeln für Terme mit Potenzen

In Potenzen wird ausgedrückt, dass eine Zahl mehrere Male mit sich selbst multipliziert wird. Insbesondere Potenzfunktionen und Polynome spielen in der höheren Schulmathematik eine wichtige Rolle. Es hat daher fundamentale Bedeutung für Schüler, die Potenzregeln auswendig zu lernen und wie im Schlaf zu beherschen. Häufig werden Nullstellen von Polynomen gesucht. Die p-q-Formel und die sogenannte „Mitternachtsformel“ sind einfache Möglichkeiten, diese Nullstellen zu berechnen. Die Formeln werden auch in der fortgeschrittenen Mathematik der Oberstufe benötigt, wenn mit Hilfe von Ableitungen die ersten Optimierungsprobleme gelöst werden. Um Minima und Maxima einer Funktion zu finden, müssen nämlich regelmäßig die Nullstellen von Polynomen ermittelt werden. Damit das Rechnen mit Potenzen in den späteren Klassenstufen nicht zum Hindernis bei der Lösung von Aufgaben wird, sollten die Potenzregeln schon früh geübt und verinnerlicht werden.

Grundlegende Potenzregeln

Formel	Bedeutung
	Potenz mit dem Exponent 0
	Potenz mit dem Exponent 1
	Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem ihre Exponenten addiert werden.
	Potenzierung von Potenzen: Potenzen werden potenziert, indem alle Exponenten miteinander multipliziert werden.
	Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponent: Potenzen mit gleichem Exponent werden multipliziert, indem die Basen multipliziert werden.
	Potenz mit negativem Exponenten
	Division von Potenzen mit gleicher Basis
	Potenz deren Exponent das Inverse einer natürlichen Zahl ist
	Potenz deren Exponent ein Bruch ist. (Achtung: wenn n gerade ist, muss a größer als 0 sein!)

Lösungregeln für Terme mit Potenzen

Formel	Bedeutung
	p-q-Formel
	Die a,b,c-Formel, oder auch „Mitternachtsformel“

• Beispiele für die p-q-Formel
• Herleitung der p-q-Formel

Mit p-q-Formel lassen sich quadratische Gleichungen der Form:

leicht lösen. Die p-q-Formel besagt, dass es maximal zwei Lösungen für solche Gleichungen gibt, und zwar:

Die Kombination aus Plus und Minus vor der Wurzel besagt dabei, dass die Wurzel für die eine Lösung addiert und für die andere Lösung subtrahiert werden muss. Ausgeschrieben lauten die beiden Lösungen der p-q-Formel also:

Selbstverständlich gibt es auch für die p-q-Formel keine Ausnahme von der Regel, dass unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf (zumindest in der Menge der reelen Zahlen, mit denen Schüler üblicherweise rechnen). Wenn also unter der Wurzel ein negativer Wert entsteht, liefert die p-q-Formel kein Ergebnis. Die quadratische Gleichung hat in diesem Fall keine Lösung.

Beispiele für die p-q-Formel

In unserem ersten Beispiel sehen wir uns diese Formel an:

In dieser Gleichung ist das gesuchte p gleich 10 und q ist gleich 9. Eingesetzt in die p-q-Formel ergibt das:

Wir erhalten also als Ergebnis, dass die Gleichung zwei Lösungen hat: -9 und -1.

Im nächsten Beispiel betrachten wir die Gleichung:

Diese Gleichung liegt nicht in einer Form vor, dass wir p und q direkt ablesen können. Wir müssen daher zuerst die Klammer ausmultiplizieren. Dadurch erhalten wir die Gleichung in dieser Form:

Auch in dieser Form können wir p und q noch nicht direkt ablesen, da vor dem quadratischen Term noch ein Faktor steht. Wir müssen also entweder auf die a-b-c-Formel zurückgreifen oder die Gleichung um 3 kürzen. Da auf der rechten Seite 0 steht ist dies problemlos möglich, und wir erhalten:

Jetzt erhalten wir endlich p = 2 und q = -3. Einsetzen in die p-q-Formel ergibt:

In einem dritten Beispiel sehen wir uns diese Gleichung an:

Hieraus lesen wir p = 2 und q = 5 ab und setzen in die p-q-Formel ein:

An dieser Stelle brechen wir die Berechnung ab, weil unter der Wurzel ein negativer Wert steht. Im Bereich der reelen Zahlen gibt es für die Gleichung keine Lösung. Die quadratische Gleichung hat also keine Nullstelle.

Herleitung der p-q-Formel

Eine quadratische Gleichung in der Form:

lässt sich nicht so einfach nach x auflösen. Bei der Herleitung der p-q-Formel bedient man sich daher eines Tricks. Es ist nämlich einfach, eine quadratische Gleichung dieser Form nach x aufzulösen:

Im zweiten Schritt haben wir die erste binomische Formel angewandt, wodurch es leicht möglich war, x auf der linken Seite zu lassen und alles weitere auf die rechte Seite zu bringen.

Der Trick bei der p-q-Formel besteht nun darin, unsere quadratische Gleichung zuerst in eine Form zu bringen, die uns die Anwendung der ersten binomischen Formel erlaubt. Die Herleitung sieht< so aus:

Die binomische Formel haben wir hier im Übergang von der dritten zur vierten Gleichung genutzt. Auf diese Weise war die Herleitung der p-q-Formel einfach.

Der Logarithmus ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von exponentiellen und logarithmischen Funktionen verwendet wird. In diesem Blogbeitrag lernst du die Grundlagen des Logarithmus kennen und erfährst, wie man ihn berechnet.

• Logarithmus
• Spezielle Logarithmen

Der Logarithmus gibt zu einer gegebenen Potenz bei einer gegebenen Basis den bisher unbekannten Exponenten wieder. Der Logarithmus erlangt insbesondere in der höheren Mathematik dadurch Bedeutung, dass in ihm Multiplikation und Addition zusammenfallen und mit seiner Hilfe die irrationale Zahl e, die Eulersche-Zahl, definiert wird.

Logarithmus

Formel	Bedeutung
	Definition des Logarithmus
	Nullstelle aller Logarithmen
	Addition von Logarithmen
	Negation von Logarithmen
	Subtraktion von Logarithmen
	Multiplikation eines Logarithmus mit einer natürlichen Zahl
	Division von Logarithmen

Spezielle Logarithmen

Formel	Bedeutung
	Definition der Eulersche Zahl
	Natürlicher Logarithmus
	Dekadischer Logarithmus
	Binärer Logarithmus

Zusammenfassung

Der Logarithmus ist ein wichtiges mathematisches Konzept, das in vielen Bereichen der Mathematik und Physik verwendet wird.

Der Logarithmus ist eine Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Wenn wir also die Exponentialfunktion mit dem Basis 10 auf die Zahl 100 anwenden, erhalten wir die Zahl 10. Dies bedeutet, dass der Logarithmus der Zahl 10 zur Basis 10 gleich 1 ist. Wir können diese Beziehung auch in einer Gleichung ausdrücken:

log10(100) = 1

In der gleichen Weise können wir auch den Logarithmus von anderen Zahlen berechnen. Zum Beispiel ist der Logarithmus von 1000 zur Basis 10 gleich 3, da 1000 = 10^3 ist. Wir können auch feststellen, dass der Logarithmus von 0,1 zur Basis 10 gleich -1 ist, da 0,1 = 10^-1 ist.

Die obige Gleichung kann auch so geschrieben werden:

log10(x) = y

Dies bedeutet, dass x die Zahl ist, zu der wir den Logarithmus nehmen wollen und y die Antwort ist. Es gibt auch andere Arten von Logarithmen, zum Beispiel den natürlichen Logarithmus (ln). Der natürliche Logarithmus hat die Eigenschaft, dass ln(e) = 1 ist, wo e die Eulersche Zahl ist (e ≈ 2,71828). Dies bedeutet, dass der natürliche Logarithmus einer beliebigen Zahl gleich dem Exponentiallogarithmus dieser Zahl mit der Basis e ist.

Die Definition des Logarithmus kann auch so formuliert werden: Wenn y = b^x (b > 0; b ≠ 1), dann nennt man logb(y) = x den logarithmischen Koeffizienten oder Exponent von y zur Basis b.

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• Anwendungen und Beispiele für die Kettenregel
• Mehrfache Anwendung der Kettenregel

Die Kettenregel für Ableitungen besagt, wie verknüpfte Funktionen abgeleitet werden. Sie lautet:

Verknüpfte Funktionen werden also abgeleitet, indem man zuerst die Ableitung der äußeren Funktion bildet, in diese Ableitung die innere Funktion unverändert einsetzt und anschließend das Ergebnis noch einmal mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert. In Kurzform kann man sich die Kettenregel merken als: „Innere Ableitung mal äußere Ableitung“.

Anwendungen und Beispiele für die Kettenregel

Sehen wir uns als ersten Beispiel diese Funktion an:

In dieser Funktion sind zwei Funktionen verknüpft:

Dabei ist f die äußere und g die innere Funktion. Um die Ableitung von h zu bilden, leiten wir zunächst f und g einzeln ab:

Jetzt bilden wir die Ableitung von h, indem wir g in f’ einsetzen und das Ergebnis mit g’ multiplizieren:

Als nächstes sehen wir uns diese Funktion an:

Wieder liegen hier zwei verknüpfte Funktionen vor. Es sind:

Und wir bilden zunächst wieder die Ableitungen dieser beiden Funktionen:

Einsetzen in die Kettenregel ergibt:

Mehrfache Anwendung der Kettenregel

Wenn mehr als nur zwei Funktionen verkettet werden, ist es notwendig, die Kettenregel mehrfach anzuwenden. Wenn wir uns allerdings an Vorgehen halten, das oben gezeigt wird, ist das kein Problem. Betrachten wir als Beispiel den Ausdruck:

Wir sehen uns zunächst an, aus welchen Funktionen dieser Ausdruck zusammengesetzt ist:

Insgesamt gilt also:

Um diesen Ausdruck abzuleiten, bilden wir als Erstes die Ableitungen der drei verknüpften Funktionen:

Wir leiten den Ausdruck jetzt „von außen nach innen“ ab. Mit der Kettenregel gilt:

In diese Gleichung setzen wir die verknüpften Funktionen und ihre Ableitungen ein:

• Rechenregeln für lineare Funktionen
• Nullpunkt einer linearen Funktion berechnen
• Steigung einer linearen Funktion berechnen
• y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen
• Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen.

Eine lineare Funktion ist eine Abbildung der reellen Zahlen auf die reellen Zahlen in dieser Form:

Der Parameter m gibt die Steigung der linearen Funktion an. Wenn er positiv ist, so ist die Funktion streng monoton steigend. Wenn er negativ ist, so ist sie streng monoton fallend. Ist er gleich 0, so hat die Funktion den konstanten Wert n. Ihr Graph verläuft dann parallel zur x-Achse im Abstand n.

Der Parameter n gibt den y-Achsenabschnitt der linearen Funktion an. Für x = 0 hat die Funktion den Wert n. Der Graph der Funktion schneidet die y-Achse also genau an der Stelle (0; n).

Falls die Steigung einer linearen Funktion ungleich 0 ist, so ist die Funktion surjektiv und injektiv. Dass sie surjektiv ist, bedeutet dass es zu jedem reellen Wert y einen Wert x gibt, so dass y = f(x). Dass sie injektiv ist, bedeutet, dass für zwei reelle Zahlen u und v aus  folgt, dass  ist.

Da eine lineare Funktion mit einer Steigung ungleich 0 surjektiv und injektiv ist, ist sie bijektiv. Es gibt deshalb zu ihr eine Umkehrfunktion.

Rechenregeln für lineare Funktionen

Formel	Bedeutung
	Nullpunkt
	Steigung aus den bekannten Punkten (x; f(x)) und (y; f(y)) berechnen
	y-Achsenabschnitt aus den bekannten Punkten (x; f(x)) und (y; f(y)) berechnen
	Umkehrfunktion

Nullpunkt einer linearen Funktion berechnen

Den Nullpunkt einer linearen Funktion können wir direkt aus den Werten von m und n berechnen. Um hierfür eine Formel zu erhalten, setzen wir f(x₀) = 0 und lösen nach x₀ auf. Dabei gehen wir davon aus, dass m ungleich 0 ist. Ansonsten wäre jeder oder kein Wert der Funktion 0.

Wir finden den Nullpunkt einer Funktion also immer an der Stelle .

Steigung einer linearen Funktion berechnen

Wenn wir mindestens zwei Paare von Argument und Wert einer linearen Funktion kennen, können wir ihre Steigung m berechnen. Wenn die beiden Paare als (x; f(x)) und (y; f(y)) gegeben sind (mit ), so erhalten wir die beiden Formeln:

Wir lösen die erste Formel zunächst nach n auf:

und setzen sie in die zweite Formel ein:

Jetzt lösen wir diese Formel nach m auf:

Mit anderen Worten entspricht die Steigung einer linearen Funktion dem Verhältnis aus der Differenz der Funktionswerte zu der Differenz ihrer Argumente.

y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen

Kennen wir wiederum zwei Paare von Argument und Wert einer linearen Funktion, können wir ihre Steigung m berechnen. Wenn die beiden Paare als (x; f(x)) und (y; f(y)) gegeben sind (mit  und beide ungleich 0), so erhalten wir die beiden Formeln:

Jetzt lösen wir die erste Forml nach m auf:

und setzen sie in die zweite Formel ein:

Jetzt lösen wir diese Formel nach n auf:

Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen.

Eine lineare Funktion, deren Steigung m nicht gleich 0 ist, ist eine ein-eindeutige Abbildung zwischen ihrem Definitionsbereich und ihrem Wertebereich. Sie besitzt daher eine Umkehrfunktion. Wir können die Umkehrfunktion einer linearen Funktion leicht berechnen, indem wir sie nach x auflösen:

Die Steigung der Umkehrfunktion ist also 1/m und der y-Achsenabschnitt -n/m.

Die Kehrwertregel ist ein wichtiges Werkzeug für die Differentialrechnung. Sie ermöglicht es uns, die Ableitung von Funktionen zu berechnen, die invers zu einer anderen Funktion sind.

In diesem Artikel zeigen wir dir Schritt für Schritt, wie du die Kehrwertregel anwendest. So kannst auch du bald die Ableitung komplexer Funktionen berechnen!

• Anwendung und Beispiele für die Kehrwertregel
• Herleitung der Kehrwertregel

Die Kehrwertregel besagt, wie der Kehrwert einer Funktion abgeleitet wird. Sie lautet:

In Worten: Die Ableitungs des Kehrwerts einer Funktion, ist der negative Quotient aus der Ableitung der Funktion und dem Quadrat der Funktion.

Anwendung und Beispiele für die Kehrwertregel

Als erstes Beispiel für die Kehrwertregel betrachten wir die Ableitung von:

Dafür bilden wir zunächst einmal die Ableitung des Nenners:

Jetzt setzen wir in die Kehrwertregel ein und erhalten:

Als nächstes schauen wir uns noch die Ableitung des Kehrwerts von Cosinus an:

Herleitung der Kehrwertregel

Die Kehrwertregel lässt sich aus der Kettenregel herleiten. Hierfür betrachten wir die abzuleitende Funktion als Verknüpfung von zwei anderen Funktionen:

Mit der Funktion h als:

Gemäß der Kettenregel folgt daraus:

Zusammenfassung

Die Kehrwertregel ist besonders nützlich, wenn wir die Ableitung von komplizierteren Funktionen berechnen wollen. Denn oft ist es einfacher, die Ableitung der inverse Funktion zu berechnen und dann diese umzudrehen. Nehmen wir als Beispiel die Ableitung der quadratischen Funktion. Die Kehrwertregel sagt uns, dass wenn wir die Ableitung von f(x) berechnen, also von x^2, dann können wir diese umkehren und erhalten so die Ableitung der inverse Funktion: (1/x^2)‘ = -1/x^3.

Dies ist besonders nützlich, weil es oft einfacher ist, die Ableitung einer inversen Funktion zu berechnen. Wenn wir also beispielsweise die Ableitung von y=4/(x-3) berechnen wollen, können wir dies über y=(1/4)(1/(x-3))‘ machen und uns so den Aufwand sparen.