Autor: Loki

• Rechenregeln für den ggT
• Den größten gemeinsamen Teiler ausrechen
• Euklidischer Algorithmus

Als größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen a und b, bezeichnet man die größte Zahl m, die sowohl a als auch b ohne Rest teilt. Beispielsweise ist der größte gemeinsame Teiler von 15 und 12 die Zahl 3. Die Zahl 3 ist nämlich die größte Zahl, die sowohl 12 (12/3 = 4), als auch 15 (15/3 = 5) ohne Rest teilt. Für den größten gemeinsamen Teiler ist die Abkürzung ggT üblich. Sie wird in vielen mathematischen Texte benutzt. Oft wird sie auch als Funktion notiert:

Um sich die Bedeutung des Begriffs größter gemeinsamer Teiler zu verdeutlichen, sollte man sich die Konsequenz verdeutlichen, die jeder einzelne seiner Bestandteile hat. Wir beginnen am besten beim letzten und arbeiten uns nach vorne

• Teiler: Ein Teiler ist jede Zahl, die eine andere Zahl ohne Rest teilt. Beispielsweise hat 15 die Teiler 1, 3, 5 und 15. Die Zahl 24 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24. Ein Primzahl hat nur zwei Teiler 1 und die Zahl selbst.
• gemeinsamer Teiler: Da es sich beim ggT um einen gemeinsamen Teiler handelt, ist klar, dass er immer nur als Eigenschaft von zwei Zahlen zu betrachten ist. Es wäre sinnlos vom ggT einer einzelnen Zahl zu sprechen. Gemeinsam bedeutet, dass nur Teiler betrachtet werden, die beide Zahlen ohne Rest teilen. Genaugenommen handelt es sich bei den gemeinsamen Teilern um die Schnittmenge der Mengen aller Teiler beider Zahlen. Beispielsweise hat die Zahl 30 die Teiler 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 und 30. Die Zahl 12 hat die Teiler 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Gemeinsame Teiler beider Zahlen sind: 1, 2, 3 und 6. Die Zahl 12 ist nur Teiler von sich selbst, aber kein Teiler von 30. Die Zahlen 10, 15 und 30 sind nur Teiler von 30 aber keine Teiler von 12.
• größter gemeinsamer Teiler: Nachdem wir festgestellt haben, dass eine Zahl mehrere Teiler und zwei Zahlen mehrere gemeinsame Teiler haben können, legen wir jetzt fest, dass uns nur der größte unter ihnen interessiert. Im Bereich der ganzen Zahlen ist damit ein ggT eindeutig festgelegt. Man kann also nicht nur sagen, dass 6 ein größter gemeinsamer Teiler von 30 und 12 ist, sondern man muss sogar sagen, 6 sei der größte gemeinsame Teiler von 30 und 12. Diese Eindeutigkeit des ggT wird durch das Attribut größter festgelegt.

Für Schüler ist der größte gemeinsame Teiler besonders in der Bruchrechnung wichtig. Beim Kürzen von Brüchen ist es von Vorteil, den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner zu kennen. Kürzt man den Bruch nämlich mit dem ggT ist er vollständig gekürzt. Zählen und Nenner haben dann keinen weiteren gemeinsamen Teiler mehr, durch den sie sich noch kürzen ließen. Hieran wird auch noch eine andere Eigenschaft des ggT deutlich: Alle gemeinsamen Teiler zweier Zahlen sind Teiler des ggT.

Rechenregeln für den ggT

Für den größten gemeinsamen Teiler gelten folgende Rechenregel:

Formel	Bedeutung
	Kommutativgesetz
	Distributivgesetz
	Assoziativgesetz
	Vorzeichen haben keinen Einfluss auf den ggT
	Der größte gemeinsame Teiler einer Zahl mit Null ist der Betrag der Zahl selbst
	Der größte gemeinsame Teiler einer Zahl mit Eins ist die Eins selbst
	Addition des Vielfachen der einen Zahl zur anderen ändert den ggT nicht

Den größten gemeinsamen Teiler ausrechen

Den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen kann man natürlich wie oben vorgeführt direkt bestimmen, indem man die Teilermengen beider Zahlen bildet, anschließend alle Zahlen wegstreicht, die nur eine der beiden Zahlen teilen, und unter den verbliebenen Zahlen die größte herraussucht.

Die vorgehen ist für kleinere Zahlen bis 50 – in Ausnahmefällen bis 100 – praktikabel. Für größere Zahlen wird es aber schnell unhandlich. Was ist beispielsweise der größte gemeinsame Teiler von 17.640 und 4.158?

Hier hilft uns die Methode der Primfaktorzerlegung weiter. Sie umfasst diese Schritte:

• Bilde für beide Zahlen die Primfaktorzerlegung
• Ermittle für alle Primfaktoren, die in beiden Primfaktorzerlegung vorkommen, die jeweils kleinere Potenz.
• Bilde das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren mit der jeweils kleineren Potenz

Dies Vorgehen klingt erst einmal kompliziert wird aber an einem Beispiel gut verständlich. Wie bestimmen hierfür den größten gemeinsam Teiler von 17.640 und 4.158. Zuerst bilden wir die Primfaktorzerlegung von 17.640:

Und danach die Primfaktorzerlegung von 4.158

Die Primfaktoren, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen sind: 2, 3 und 7. Das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren in jeweils der kleineren Potenz ist:

Dies ist der gesuchte größte gemeinsame Teiler.

Euklidischer Algorithmus

Die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers über die Primfaktorzerlegung ist zwar schon etwas handlicher, aber immer noch sehr aufwändig. Gerade bei größeren Zahlen ist es ein nicht unerheblicher Aufwand eine Primfaktorzerlegung zu finden. Eine effizienztere Methode, den größten gemeinsamen Teiler zu finden, ist der Euklidische Algorithmus.

Der Euklidische Algorithmus ist ein sogenannter rekursiver Algorithmus. Das bedeutet, dass derselbe Rechenschritt mehrmals wiederholt wird, wobei sich die Zahlen, mit denen gerechnet wird, aus dem Ergebnis des letzten Rechenschritts ergeben.

Der Euklidische Algorithmus lautet:

• Nimm zwei Zahlen a und b, so dass a > b ist.
• Dividiere a / b mit Rest
• Wenn der Rest 0 ist, bist du fertig. Der größte gemeinsame Teiler ist dann genau b.
• Wenn der Rest größer als 0 ist, wiederhole die Rechnung für b und den Rest.

So können wir beispielsweise mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von: 10.893 und 24.531 ausrechnen:

Der größte gemeinsame Teiler der beiden Zahlen ist also 3. Dies konnten wir mit dem Euklidischen Algorithmus sehr leicht berechnen. Dank der einfachen Rechenvorschrift, können wir die notwendigen Schritte solange mechanisch abarbeiten, bis wir das Ergebnis haben.

• Wichtige Rechenregeln für Funktionen
• Definitionsbereich
• Wertebereich
• Wertetabelle
• Mehrstellige Funktionen
• Funktionen verketten
• Umkehrfunktion
• Surjektive Funktionen
• Injektive Funktionen
• Bijektive Funktionen

Als Funktion f, bzw. „Abbildung“, bezeichnen wir in der Mathematik eine Vorschrift f, die jedem Element x aus einer Menge M genau ein Element f(x) in einer zweiten Menge N zuordnet. Die Menge M heißt Definitionsbereich, die Menge N Wertebereich von f. x wird als Argument oder Urbild bezeichnet, f(x) als Bild.

Die „Vorschrift“ für die Zuordnung kann verbal gegeben werden. Falls M und N jeweils  (die Menge der reellen Zahlen) ist, so könnte sie lautet: „Ordne jeder Zahl x die Zahl zu, die genau doppelt so groß wie x ist“. Die verbale Angabe ist in der Regel aber zu umständlich oder ungenau. Funktionen werden deshalb üblicherweise über eine Rechenvorschrift definiert. Die eben genannte Zuordnung würden wir beispielsweise so notieren:

Diese Funktionsdefinition wird so gelesen: „Die Funktion f ist eine Abbildung der reellen Zahl auf reelle Zahlen. Sie ordnet jeder reellen Zahl x die reelle Zahl f(x) = 2x zu.“

Wichtige Rechenregeln für Funktionen

Formel	Bedeutung
	Funktionsverkettung
	f-1 ist die Umkehrfunktion von f
	f ist surjektiv
	f ist injektiv

(In den Regeln für surjektive und bijektive Funktionen ist M der Definitionsbereich und N der Wertebereich.)

Definitionsbereich

Die Menge M der Zahlen, denen f eine Zahl aus N zuordnet, wird als „Definitionsbereich“ bezeichnet. Wir sagen, die Funktion sei für diese Menge definiert. Im oben genannten Beispiel war der Definitionsbereich als  (die Menge der reellen Zahlen) angegeben. Sie ordnet also beispielsweise den Zahlen 2, 6/11, aber auch -3,141 und „Wurzel aus 5“ einen Wert zu. Hätten wir den Definitionsbereich als  (Menge der natürlichen Zahlen) angegeben, so dürften wir die Funktion nur auf natürliche Zahlen anwenden. Beispielsweise wäre der Wert von f(3/4) dann nicht mehr definiert (obwohl die Rechenvorschrift natürlich auch für 3/4 ein sinnvolles Ergebnis ergibt).

In der Regel wird der Definitionsbereich einer Funktion aber nur eingegrenzt, wenn wir eine Rechenvorschrift haben, die auf bestimmte Zahen nicht angewandt werden darf. Ein Beispiel für eine solche Rechenvorschrift ist:

In diese Rechenvorschrift dürfen wir für x die Zahl 0 nicht einsetzen, weil 1 (wie jede andere Zahl auch) nicht durch 0 geteilt werden darf. Wollen wir eine Funktion mit dieser Rechenvorschrift definieren, so müssen wir die 0 explizit aus dem Definitionsbereich entfernen. Eine zulässige Funktionsdefinition wäre beispielsweise:

Wenn sich der Definitionsbereich einer Funktion aus dem Kontext ergibt, wird er manchmal nicht noch einmal extra angegeben. Zu einer vollständigen Funktionsdefinition gehört er aber unbedingt dazu.

Wertebereich

Die Menge N, aus der die Werte von f(x) stammen, heißt Wertebereich von f. Es ist nicht notwendig, dass es zu jedem Element y aus N eine Zahl x mit f(x) = y gibt. Das heißt, nicht jeder Wert aus dem Wertebereich muss auch tatsächlich als Wert der Funktion auftreten. Allerdings müssen wir sicherstellen, dass jeder Wert f(x) tatsächlich im Wertebereich der Funktion liegt, da die Funktionsdefinition ansonsten falsch ist.

Beispiel: Das doppelte einer reellen Zahl ist immer eine reelle Zahl, aber nicht in jedem Fall eine rationale Zahl. Eine rationale Zahl, ist eine Bruchzahl, z.B. , eine reelle Zahl ist  und auch . Angenommen wir haben nun die Rechenvorschrift  und nehmen als Definitionsbereich die reellen Zahlen. In diesem Fall dürfen wir nicht die rationalen Zahlen als Wertebereich wählen. Das Ergebnis von  würde dann nämlich nicht mehr im Wertebereich liegen. Das wäre unzulässig.

Wenn wir für diese Funktion die reellen Zahlen als Definitionsbereich wählen, so muss auch der Wertebereich die Menge der reellen Zahlen sein. Wählen wir aber die Menge der rationalen Zahlen, d.h. der Bruchzahlen, als Definitionsbereich, so können wir den Wertebereich auch auf die rationalen Zahlen einschränken, da das doppelte einer rationalen Zahl immer eine rationale Zahl ist.

Wertetabelle

Eine Wertetabelle gibt einen Überblick über ausgewählte Funktionswerte. Wir erhalten eine Wertetabelle für eine Funktion f, indem wir in die linke Spalte einer Tabelle einen Wert für x und in der rechten Spalte den dazugehörigen Wert für f(x) eintragen. Es gibt keine Vorschrift, die besagt, für welche Werte eine Wertetabelle gebildet werden soll. So viele Möglichkeiten es gibt, Werte aus dem Definitionsbereich zu wählen, so viele mögliche Wertetabellen gibt es. Man kann daher immer nur von einer und nicht von der Wertetabelle einer Funktion sprechen.

Eine Wertetabelle für die Funktion f(x) = x² könnte beispielsweise so aussehen:

x	f(x)
-4	16
-3	9
-2	4
-1	1
-0,5	0,25
0	0
0,5	0,25
1	1
2	4
3	9
4	16

Mehrstellige Funktionen

Bisher haben wir Funktionen kennengelernt, deren Definitionsbereich aus einer einfachen Menge von Zahlen besteht. Es ist allerdings auch möglich, dass der Definitionsbereich aus dem Kreuzprodukt zweier oder mehrerer Mengen besteht. In diesem Fall hat unsere Rechenvorschrift zwei oder mehr Argumente. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist:

Diese Funktion bildet Paare ganzer Zahlen auf einen Bruch ab.

Ein Beispiel für eine fünfstellige Funktion ist:

Funktionen verketten

Angenommen, wir haben zwei Funktionen f und g. Nun können wir eine neue Funktion h definieren als die Abbildung, die entsteht, wenn wir zuerst g auf das Argument anwenden und auf das Ergebnis noch einmal f. h ist also über diese Rechenvorschrift definiert:

In diesem Fall sprechen wir von einer Funktionsverkettung, die wir über ein Kreissymbol ausdrücken:

Bei der Funktionsverkettung müssen wir sicherstellen, dass nur zulässige Werte als Argumente von f auftreten. Das bedeutet, der Wertebereich von g muss eine Teilmenge des Definitionsbereiches von f sein.

Angenommen, g sei als eine Abbildung der Menge A auf die Menge B definiert und f als eine Abbildung der Menge C auf D, so muss sichergestellt sein, dass B eine Teilmenge von C ist. In diesem Fall ist h eine Abbildung von A auf D.

Umkehrfunktion

Eine Funktion g mit der Eigenschaft g(f(x)) = x bezeichnen wird als Umkehrfunktion von f. Eine Umkehrfunktion hebt die Wirkung einer Funktion auf. In der Mathematik bezeichnen wir die Umkehrfunktion zu f als f^-1 und es gilt:

Jede Funktion ist selbst wieder die Umkehrfunktion zu ihrer Umkehrfunktion. Es gilt also:

und

Es gibt nicht zu jeder Funktion eine Umkehrfunktion. Damit eine Umkehrfunktion definiert ist, muss nämlich die Abbildung zwischen Abbild f(x) und Argument x einer Funktion eindeutig sein. Die Funktion muss also injektiv sein.

Beispiel: Wenn die Quadratfunktion folgendermaßen definiert ist, besitzt sie keine Umkehrfunktion:

Zu jedem Wert f(x) (außer 0) gibt es nämlich zwei mögliche Argumente x, die auf diesen Wert abgebildet werden. So wird f(x) = 4 durch 2 und -2 erzeugt, 9 durch 3 und -3, 16 durch 4 und -4 usw. Wir können also keine Funktion definieren, die jedem Bild ein eindeutiges Urbild zuordnet.

Damit die Quadratfunktion eine Umkehrfunktion erhält, müssen wir ihren Definitionsbereich auf die Menge der positiven reellen Zahlen  einschränken:

Jetzt ist das 2 das einzige Urbild von 4, 3 von 9, 4 von 16 usw. Negative Zahlen kommen als Urbilder nicht mehr vor, da sie nicht zum Definitionsbereich von f gehören.

Die Umkehrfunktion von f ist:

Es gilt nämlich:

Auch der Definitionsbereich der Umkehrfunktion f^-1 musste auf die Menge der positiven reellen Zahlen eingeschränkt werden. Negative Zahlen kommen nicht als Bilder der Quadratfunktion vor. Sie dürfen daher auch nicht als Argumente der Umkehrfunktion erscheinen.

Surjektive Funktionen

Wir haben oben gesagt, dass nicht jedes Element aus dem Wertebereich auch tatsächlich als Wert f(x) einer Funktion vorkommen muss. Funktionen bei denen dies dennoch so ist, bezeichnen wir als surjektive Funktionen. Mit anderen Worten:

Eine Funktion ist surjektiv, wenn es zu jedem Element y aus ihrem Wertebereich N ein Element x aus ihrem Definitionsbereich gibt, so dass y = f(x) ist.

Mathematisch können wir dies so ausdrücken:

Injektive Funktionen

Es gibt Funktionen, die mehrere Argumente auf denselben Wert abbilden. Andererseits gibt es Funktion, die jeweils nur ein Argument auf einen Wert abbilden. Solche Funktionen bezeichnen wir als injektive Funktionen. Mit anderen Worten:

Eine Funktion f ist injektiv, wenn aus der Tatsache, dass f(u) gleich f(v) ist folgt, dass u gleich v ist, bzw. wenn verschiedene Argument u und v immer auf verschiedene Werte f(u) und f(v) abgebildet werden.

Mathematisch können wir dies so ausdrücken:

Bijektive Funktionen

Ein Funktion gilt als bijektiv, wenn sie sowohl surjektiv als auch injektiv ist. In diesem Fall stellt sie eine ein-eindeutige Beziehung zwischen den Elementen ihres Definitionsbereiches und ihres Wertebereiches dar: Jedem Element aus dem Wertebereich ist genau ein Element aus dem Definitionsbereich zugeordnet.

Fazit

Funktionen können sehr einfach aufgebaut sein, aber ebenso ein Teil Höhere Mathematik.

• Bildungsgesetz
  • Rekursive Folgen
• Wichtige Eigenschaften von Folgen
  • Monotonie von Folgen
  • Beschränktheit von Folgen
  • Konvergenz von Folgen
• Wichtige Folgen
  • Arithmetische Folge
  • Geometrische Folge

Eine Folge bezeichnet in der Mathematik eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine (Teil-)menge der reellen Zahlen. In einer Folge wird jeder natürlichen Zahl genau eine reelle Zahl zugeordnet. Diese reellen Zahlen bilden die Glieder der Folge. Sie werden als a_n bezeichnet für jede natürliche Zahl n. Die gesamte Folgen schreiben wir als (a_n). Es gilt also:

Anders als die Elemente einer Menge haben die Glieder einer Folge eine feste Reihenfolge. Diese ist durch die Zuordnung zu den natürlichen Zahlen vorgegeben. Im Gegensatz zu den Elemente einer Menge kann eine Zahl zudem mehrfach als Glied einer Folge auftreten.

Bildungsgesetz

Häufig folgen die Glieder einer Folge einem vorgegebenen Bildungsgesetz. Ein solches Bildungsgesetz wird in runden Klammern geschrieben, um die Folge zu bezeichnen. Die Folge der Quadratzahlen notieren wir beispielweise so:

Eine Folge die nur die Zahlen 1 und -1 enthält, kann beispielsweise nach diesem Bildungsgesetz gebildet werden:

Rekursive Folgen

Im Bildungsgesetz für eine Folge kann auch auf frühere Folgenglieder Bezug genommen werden. Hierfür ist es notwendig, die ersten Glieder der Folge explizit anzugeben. Eine Folge, die auf diese Weise angegeben wird, bezeichnen wir als rekursive Folge. Eine sehr einfache rekursive Folge ist beispielsweise die Folge der geraden natürlichen Zahlen:

Die bekannteste rekursive Folge ist sicherlich die Folge der Fibonacci-Zahlen. In der Fibonacci-Folge ist jedes Glied die Summer der beiden vorangegangenen Folgegliedern. Die ersten beiden Glieder werden jeweils als 1 definiert. Ihr Bildungsgesetz lautet:

Wichtige Eigenschaften von Folgen

Monotonie von Folgen

Eine Folge gilt als monoton steigend wenn jedes ihrer Folgenglieder größer oder gleich dem vorangegangenen Folgenglied ist. Umgekehrt gilt sie als monoton fallend, wenn jedes Ihrer Folgenglieder kleiner oder gleich dem vorangegangenen ist. Ein Spezialfall der Monotonie ist die Konstanz. Eine Folge gilt als konstant, wenn jedes Folgenglied gleich dem vorangeganen ist.

Ein Beispiel für eine monoton steigende Folge ist:

Hier ist jedes Folgenglied entweder genauso groß oder größer als das vorangegangene Glied. (Die eckigen Klammern, bei denen nur der untere Strich gezeichnet ist, sind sogenannte Abrundungsklammern. Sie bewirken, dass eine reelle Zahl auf die nächst kleinere Ganzzahl abgerundet wird.)

Ein weiteres Beispiel für eine monoton steigende Folge ist die Folge der Fibonacci-Zahlen. Bei der Fibonacci-Folge ist sogar jedes Glied größer als das vorangegen und kein Glied ist gleich dem vorangegangem. Solche Folgen bezeichnet man im Gegensatz zu den einfachen monoton steigenden Folgen auch als streng monoton steigend.

Ein Beispiel für eine streng monoton fallende Folge ist:

Beschränktheit von Folgen

Eine weitere wichtige Eigenschaft einer Folge ist ihre Beschränkheit. Eine Folge gilt genau dann als beschränkt, wenn es zwei Zahlen s und S gibt, so dass jedes Glied der Folge größer oder gleich s und kleiner oder gleich S ist. Es gilt also:

Die Zahl s bezeichnet man als „untere Schranke“ der Folge, die Zahl S als „obere Schranke“.

Von den Folgen, die wir bisher kennengelernt haben ist beispielsweise die Folge (-1ⁿ) beschränkt. Jedes Glied der Folge ist größer oder gleich -1 und kleiner oder gleich 1. Ebenso ist die Folge (1/n) beschränkt. Hier ist jedes Folgenglied kleiner oder gleich 1 und größer als 0. Dagegen ist beispielsweise die Folge (n²) nicht beschränkt. Sie besitzt keine obere Schranke. Zu jeder Zahl S kann eine Zahl n angegeben werden (z.B. die Wurzel aus S + 1), so dass a_n größer als S ist.

Konvergenz von Folgen

Wenn es eine Zahl a gibt, so dass für jede beliebig kleine Umgebung um a nur eine endliche Anzahl von Gliedern der Folge (a_n) gibt, die außerhalb dieser Umgebung liegen, so sagen wird, dass die Folge gegen a konvergiert. Sei ε eine beliebig kleine Zahl, so muss für fast alle Glieder der Folge gelten:

Diese Bedingung darf nur von einer endlicher Anzahl m von Folgegliedern verletzt werden. Dabei ist es egal ob m gleich 3, 3.000 oder 3 x 10²⁵ ist. Wichtig ist nur, dass m endlich ist.

Die Zahl a, gegen die die Folge konvergiert, bezeichnen wir als ihren Grenzwert. Eine Folge, die nicht konvergiert, bezeichnen wir als „divergent“ (sie „divergiert“).

Die Konvergenz einer Folge wird über das Limes-Zeichen ausgedrückt:

Das Limes-Zeichen besteht aus „lim“ als Abkürzung für „Limes“ (latein für „Grenze“) und darunter der Angabe „n → ∞“. Es bedeutet: „Der Grenzwert, dem sich die Folge a_n beliebig weit annähert, wenn n unendlich groß wird.“

Die Folge (1/n) konvergiert beispielsweise gegen 0. Für jede Zahl ε kann eine Zahl  angegeben werden, so dass für alle m mit m >= n gilt, dass a_m kleiner ist als 0 + ε aber größer als 0. In mathematischer Schreibweise:

Dagegen konvergiert die Folge (n²) nicht, d.h. sie divergiert. Dies können wir leicht daran erkennen, dass sie streng monoton steigt und nach oben unbeschränkt ist. Sie verlässt daher jeden endlichen Bereich nach einer endlichen Anzahl von Schritten. Der Grenzwert dieser Folge ist nicht definiert.

Eine andere divergente Folge ist ((-1)ⁿ). Sie ist zwar beschränkt, aber da unendlich viele Glieder dieser Folge gleich 1 und ebenfalls unendlich viele Glieder gleich -1 sind, muss jeder Bereich, der höchsten eine endliche Anzahl von Gliedern nicht enthält, 1 und -1 umfassen. Damit ist er aber nicht mehr beliebig klein.

Wichtige Folgen

Einige Folgen spielen in der Mathematik eine besondere Rolle. Sie werden in diesem Abschnitt vorgestellt.

Arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge ist eine Folge, in der je zwei aufeinander folgenden Folgeglieder denselben Abstand haben. Für jedes n > 1 gilt also:

Im allgemeinen lautet das das Bildungsgesetzt für arithmetische Folgen:

Eine arithmetische Folge ist streng monoton steigend, wenn c > 0 ist. Ist c < 0, ist sie streng monoton fallend. Falls c = 0 ist, ist sie konstant.

Die einfachste arithmetische Folge ist die Folge der natürlichen Zahlen. Bei ihr ist c = 1 und b = 0:

Die folge der natürlichen Zahlen ist (selbstverständlich) streng monoton steigend.

Ein Beispiel für eine streng monoton fallende Folge ist die Folge der negativen geraden Ganzzahlen kleiner als -10. Wir erhalten sie mit c = -2 und b = -10:

Geometrische Folge

Eine geometrische Folge zeichnet sich dadurch aus, dass die Quotienten von je zwei aufeinanderfolgenden Glieder gleich sind:

Das allgemeine Bildungsgesetzt geometrischer Folgen lautet:

Vorausgesetzt c ist positiv, so ist eine geometrische Folge für q > 1 streng monoton steigend und für 0 <= q < 1 streng monoton fallend. Ist q = 1, so hat die Folge den konstanten Wert c, ist q = 0, den konstanten Wert 0.

Ist q < 0, so ändert sich das Vorzeichen der Glieder mit jedem Schritt. Auf ein Folgenglied mit positivem Vorzeichen folgt eines mit negativen Vorzeichen und umgekehrt. Eine Folge mit dieser Eigenschaft wird als „alternierend“ bezeichnet.

Ein Beispiel für eine geometrische Folge ist die Folge der Exponenten von 2. Bei ihr ist c = 2 und q = 2:

Diese Folge ist streng monoton steigend.

Ein Beispiel für eine streng monoton fallenden geometrische Folge erhalten wir mit c = 32 und q = 1/2:

Mit c = 1 und q = -3 erhalten wir eine alternierende Folge:

• Beispiel für den Dreisatz
• Einfacher Dreisatz
• Umgekehrter Dreisatz
• Häufige Fehler bei der Anwendung des Dreisatzes

Mit Hilfe des Dreisatzes lässt sich aus einem bekannten Verhältnis zwischen zwei Mengen oder Werten auf andere Mengen oder Werte schließen. Anstatt dabei aus einem Verhältnis direkt auf ein anderes zu schließen, vereinfacht man die Berechnung, indem man in einem Zwischenschritt erst ein einfacheres Verhältnis berechnet.

Beispiel für den Dreisatz

Ein einfaches Beispiel für den Dreisatz lautet:

1. Das bekannte Verhältnis: „500 Gramm Kirschen kosten 2,50 Euro“
2. Das einfache Verhältnis: „100 Gramm Kirschen kosten 50 Cent“
3. Das gesuchte Verhältnis: „700 Gramm Kirschen kosten 3,50 Euro“

In diesem Beispiel, macht man es sich zunutze, dass es einfacher ist, zuerst den Preis von 100 Gramm Kirschen zu berechnen und daraus auf den Preis von 700 Gramm zu schließen, als auf dem direkten Weg 700 Gramm durch 500 Gramm zu dividieren und mit 2,50 Euro zu multiplizieren.

Einfacher Dreisatz

Je nach Situation muss man den beim Dreisatz zwischen dem einfachen und dem umgekehrten Dreisatz unterscheiden. Der einfache Dreisatz wird angewandt, wenn eine Erhöhung des einen Wertes zu einer Erhöhung des anderen Wertes im selben Verhältnis führt. Man sagt hier, dass die beiden Werte proportional zueinander sind.

Typische Anwendungsfälle für den einfachen Dreisatz sind Preisberechnungen, wie in dem genannten Beispiel. Ein anderes Beispiel für den einfachen Dreisatz wäre:

1. Fünf Äpfel wiegen einen Kilogramm.
2. Ein Apfel wiegt zweihundert Gramm
3. Sieben Äpfel wiegen 1,4 Kilogramm

Charakteristisch für den einfachen Dreisatz ist, dass das Verhältnis (der Quotient) der beiden Werte immer gleich bleibt.

Umgekehrter Dreisatz

Der umgekehrte Dreisatz wird dagegen überall dort angewandt, wo eine Erhöhung des einen Wertes zu einer Verringerung des anderen Wertes führt. Hier sagt man, die beiden Werte seien anti-proportional zu einander.

Ein Beispiel für den umgekehrten Dreisatz ist:

1. Zwei Bauarbeiter benötigen 5 Stunden, um eine Mauer zu errichten.
2. Ein Bauarbeiter alleine benötigt 10 Stunden.
3. Vier Bauarbeiter benötigen gemeinsam nur 2,5 Stunden.

In diesem Fall muss man also die Dauer, die ein einzelner Bauarbeiter benötigt, nicht mit der Anzahl der Bauarbeiter multiplizieren, sondern durch sie dividieren, um auf den gesuchten Wert zu kommen. Der umgekehrte Dreisatz zeichnet sich dadurch aus, dass das Produkt der beiden Werte immer gleich bleibt.

Ein anderes Beispiel für den umgekehrten Dreisatz ist:

1. Wenn ich 80 km/h fahre, benötige ich 3:45 Stunden um eine Strecke von 300 Kilometern zurück zu legen.
2. Wenn ich 100 km/h fahre, benötige ich 3 Stunden für dieselbe Strecke.
3. Wenn ich nur 50 km/h fahre, benötige dagegen 6 Stunden.

Häufige Fehler bei der Anwendung des Dreisatzes

Bevor man den Dreisatz anwendet, muss man sich sicher sein, dass er in der betrachteten Situation wirklich zutrifft. Das ist nur dann der Fall, wenn die eine Größe tatsächlich die andere Größe beeinflusst, und wenn die beiden Größen in einer linearen Abhängigkeit zueinander stehen.

Ein Fehler der ersten Sorte besteht darin, den Einfluss einer Größe auf die andere anzunehmen, wo keiner besteht. Eine Frage, bei der die Anwendung des Dreisatzes falsch wäre, ist beispielsweise: „Wenn eine Frau schwanger ist, dauert es neun Monate, bis das Baby geboren wird. Wie lange dauert es, wenn zwei Frauen schwanger sind?“

Dass die Anwendung des Dreisatzes hier völlig absurd wäre, ist auf den ersten Blick deutlich. Es gibt aber auch andere Fälle, in denen der Dreisatz auf zwei Größen nicht angewandt werden kann, die nicht ganz so offensichtlich sind. Beispielsweise kann nicht aus einem bekannten Verhältnis zwischen der Einwohnerzahl eines Landes und seinem Bruttosozialprodukt auf die Einwohnerzahl eines anderen Landes geschlossen werden, dessen Bruttosozialprodukt bekannt ist. Hier besteht zwar ein gewisser Zusammenhang, allerdings haben auch noch andere Größen Einfluss auf das Ergebnis, so dass der Dreisatz alleine nicht weiterhilft.

Ein Fehler der zweiten Sorte tritt überall dort auf, wo ein linearer Zusammenhang vermutet wird, obwohl keiner besteht. Beispielsweise hat ein Quadrat mit einer Kantenlänge von zwei Zentimetern eine Fläche von vier Quadratzentimetern. Ein Quadrat mit einer Kantenlänge von einem Zentimeter hat aber nicht eine Fläche von zwei Quadratzentimetern, sondern von lediglich einem Quadratzentimeter.

Um Fehler dieser Art auszuschließen, sollte immer überprüft werden, dass die Verdoppelung des einen Wertes zu einer Verdoppelung (einfacher Dreisatz), bzw. Halbierung (umgekehrter Dreisatz) des anderen Wertes führt.

• Herleitung der Gaußschen Summenformel
• Beweis der Gaußschen Summenformel per vollständiger Induktion

Mit der Gaußschen Summenformel lässt sich die Summe aller natürlichen Zahlen bis zu einer Obergrenze n berechnen. Sie lautet:

Wir können sie beispielsweise anwenden, um die Summe aller Zahlen von 1 bis 10 zu berechnen. Auf direktem Wege berechnen wir die Summe als:

Mit Hilfe der Gaußschen Summenformel vereinfacht sich die Berechnung zu:

Die Gaußsche Summenformel ist nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) benannt.

Herleitung der Gaußschen Summenformel

Wie sich die Gaußsche Summenformel herleiten lässt, können wir erkennen, indem wir beispielsweise die Summe der Zahlen von 1 bis 100 bilden.

Hierfür erstellen wir eine Tabelle. In der ersten Spalte notieren wir die Zahlen von 1 bis 50 in aufsteigender Reihenfolge, in der zweiten Spalte die Zahlen von 100 bis 51 in absteigender Reihenfolge. Somit stehen in den ersten beiden Spalten alle natürlichen Zahlen von 1 bis 100.

Nun notieren wir noch in der dritten Spalte die Summe der Zahlen in den ersten beiden Spalten derselben Reihe. Die gesuchte Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100 entspricht dann der Summe aller Zahlen in der dritten Spalte.

Insgesamt erhalten wir die folgende Tabelle:

1	100	101
2	99	101
3	98	101
4	97	101
5	96	101
⋮	⋮	⋮
46	55	101
47	54	101
48	53	101
49	52	101
50	51	101

Wir wir sehen ist der Wert in der dritten Spalte jeder Zeile der Tabelle derselbe. Insgesamt hat die Tabelle 50 Zeilen. Die gesuchte Summe lässt sich leicht berechnen: 50 x 101 = 5050

Wir können dieses Ergebnis verallgemeinern. Sei n gerade und die Zahl, bis zu der wir die Summe bilden wollen, so steht in der dritten Spalte jeder Zeile der Wert: n + 1. Insgesamt gibt es n/2 Zeilen. Das Produkt aus der Anzahl der Zeilen und der Summen in der letzten Spalte ist: .

Für ungerade n berechnen wir die Summe der natürlichen Zahl bis n-1 und addieren n:

Beweis der Gaußschen Summenformel per vollständiger Induktion

Wir können die Gaußsche Summenformel auch per vollständiger Induktion beweisen.

Im Induktionsbeginn beweisen wir, dass sie für n=1 gilt.

Nun treffen wir die Induktionsannahme, dass sie für ein beliebiges n’ gilt:

Und zeigen, dass wir daraus herleiten können, dass sie auch für n’ + 1 gilt:

Die Induktionsannahme haben wir im ersten Schritt genutzt, um den blau markierten Teil der Formel umzuwandeln.

Der Induktionsschritt ist unter der Induktionsannahme gültig. Damit ist die Gaußsche Summenformel per vollständiger Induktion bewiesen.

• Beispiele für den Differenzenquotient

Mit dem Differenzenquotient berechnet man die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Abschnitt. Seine Bedeutung wird anschaulich klar, wenn man sich vorstellt, dass man zwei Punkte auf dem Graphen einer Funktion markiert und zwischen ihnen eine Gerade zeichnet. Die Steigung der Geraden entspricht dann der Steigung der Funktion vom ersten zum zweiten Punkt. Den Wert der Steigung erhält man über den Differenzenquotienten.

Formal ist die Steigung einer Funktion f vom Punkt (a,f(a)) zu einem zweiten Punkt (b,f(b)) definiert, als der Quotient der Differenz der beiden Funktionswerte und der Differenz der beiden Variablen. Daher auch der Name Differenzen-Quotient. Die Formel für den Differenzenquotienten lautet also:

Wenn wir zu einer gegebenen Funktion f und zwei Variablen a und b die Funktion g der Geraden berechnen wollen, die die beiden Punkte (a,f(a)) und (b,f(b)) verbindet, können wir wieder den Differenzquotienten nutzen und kommen so auf die Geradengleichung:

Eine solche Gerade, die zwei Punkte auf dem Graphen einer Funktion verbindet und den Graphen der Funktion an jedem der beiden Punkte schneidet, heißt Sekante.

Beispiele für den Differenzenquotient

Angenommen, wir haben die eine Funktion f mit dieser Funktionsgleichung:

Für diese Funktion, wollen wir die Steigung zwischen den beiden Punkten (2, f(2)) und (5, f(5)) berechnen.

Einsetzen der Werte in den Differenzenquotienten ergibt:

Die Gleichung für die zugehörige Sekante lautet:

Es handelt sich dabei also um eine Gerade mit der Steigung 7 und dem y-Achsenabschnitt -13.

Zusammenfassung Differenzenquotient

Der Differenzenquotient ist ein sehr nützliches Konzept in der Mathematik. Er ermöglicht es uns, eine Funktion an einem beliebigen Punkt zu bestimmen, ohne sie zu integrieren oder zu differentieren. Das ist besonders nützlich, wenn die Funktion sehr komplex ist und wir keine Antwort auf die Integration oder Differentiation erhalten können.

• Beispiele zur Multiplikation von Brüchen
• Kürzen beim Multiplizieren von Brüchen

Brüche werden multipliziert, indem man jeweils ihre beiden Nenner und ihre beiden Zähler multipliziert. Die allgemeine Formel für die Multiplikation von Brüchen lautet:

Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Die Formel für die Division von Brüchen lautet:

Beispiele zur Multiplikation von Brüchen

In der folgenden Grafik ist die Multiplikation von Brüchen anschaulich dargestellt. Wir haben zehn Zeilen, von denen vier farbig markiert sind. Das heißt, es sind 4/10 aller Zeilen markiert. Außerdem haben wir zwölf Spalten, von denen fünf farbig markiert sind. Es sind also 5/12 aller Spalten markiert. Insgesamt ergeben alle Spalten und Zeilen zusammen 120 Kästchen. Das ist die Multiplikation der Nenner. Außerdem liegen 20 Kästchen sowohl in einer markierten Spalte als auch in einer markierten Zeile. Sie bilden die Multiplikation der Zähler. Die Zahl aller Kästchen, die sowohl in einer markierten Zeile, als auch in einer markierten Spalte liegen, geteilt durch die Gesamtzahl der Kästchen ist das gesuchte Produkt der beiden Ursprungsbrüche:

Die folgenden Rechnungen zeigen weitere Beispiele zum Malnehmen von Brüchen:

Die folgenden Rechnungen zeigen Beispiele zum Teilen von Brüchen:

Kürzen beim Multiplizieren von Brüchen

Durch die Multiplikation von Zähler und Nenner, wenn man Brüche multipliziert, entstehen schnell große Zahlen. Wenn man die Brüche nicht kürzt, werden sie dadurch unübersichtlich und es können leicht Rechenfehler unterlaufen. Brüche sollten daher bei der Multiplikation immer gekürzt werden.

Beim Malnehmen von Brüchen sollte man die Brüche schon vor der Multiplikation kürzen. Dabei darf man auch über Kreuz kürzen. Das bedeutet, man darf den Zähler des einen Bruches mit dem Nenner des anderen Bruches kürzen.

Nehmen wir an, wir wollen die beiden Brüche 6/15 und 5/12 multiplizieren. Jeder einzelne der beiden Brüche lässt sich nicht weiter kürzen. Wir dürfen sie aber auch über Kreuz kürzen. Das bedeutet, dass wir den Zähler 6 des ersten Bruchs und den Nenner 12 des zweiten Bruchs mit 6 kürzen dürfen und den Zähler 5 des zweiten Bruchs mit dem Nenner 15 des ersten Bruchs. Die Rechnung sieht nun so aus:

Wie man sieht, hat sich die Rechnung durch das Kürzen überkreuz erheblich vereinfacht.

• Grundlegende Rechengesetze für Brüche
• Grundrechenarten und Brüche
• Wozu braucht man Bruchrechnen?
• Was ist ein Bruch?
• Der Wert eines Bruchs
• Brüche vergleichen
• Brüche kürzen und erweitern
• Brüche nennergleich machen
• Brüche addieren und subtrahieren
• Brüche multiplizieren
• Brüche dividieren

Bruchrechnen ist das Rechnen mit Bruchzahlen, bzw. Brüchen, die aus einem Zähler und einem Nenner bestehen. Alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, gehören der Menge der rationalen Zahlen an. Das Bruchrechnen ist für weite Teile der Mathematik grundlegend.

Grundlegende Rechengesetze für Brüche

Formel	Bedeutung
	Erweitern eines Bruches
	Kürzen eines Bruches
	Multiplikation eines Bruches mit einer ganzen Zahl
	Division eines Bruches durch eine ganze Zahl

Grundrechenarten und Brüche

Formel	Bedeutung
	Addition von Brüchen mit gleichem Nenner
	Addition von Brüchen mit unterschiedlichem Nenner
	Multiplikation von Brüchen
	Der Kehrwert eines Bruches
	Division zweier Brüche

Wozu braucht man Bruchrechnen?

Beim Bruchrechnen rechnet man mit den Teilen ganzer Zahlen. Das heißt, dass man nicht nur Aufgaben berechnet, in denen die natürlichen Zahlen vorkommen, sondern auch solche, in denen die sogenannten rationalen Zahlen benötigt werden. Bruchrechnen ist in vielen Zusammenhängen sinnvoll: Beispielsweise kann man mit seiner Hilfe ermitteln, wie man einen Kuchen aufteilt. Das geht oft ganz intuitiv, kann aber sehr nützlich sein, wenn man Bruchrechnen üben will. Will man beispielsweise einen Kuchen zu zweit essen, muss man ihn durch zwei teilen, also bekommt jeder einen halben Kuchen, will man ihn zu fünft essen, muss man ihn durch fünf teilen. Jeder bekommt jetzt ein Fünftel des Kuchens. Verzichtet aber einer auf sein Stück und gibt es stattdessen an einen Freund, kann dieser sogar zwei Fünftel des Kuchens essen. Diese praktische Anwendung der Bruchrechnung gehört zu den typischen Aufgaben im Bruchrechnen.

Was ist ein Bruch?

Eine Bruchzahl beschreibt eine Zahl als Quotient aus Zähler und Nenner. Der Bruchstrich hat dabei dieselbe Bedeutung wie das Geteilt-Zeichen. Oberhalb des Bruchstrichs steht dabei der Divident. Er wird in der Bruchrechnung als „Zähler“ bezeichnet. Unterhalb des Bruchstrichs steht der Divisor. Er wird in der Bruchrechnung als „Nenner“ bezeichnet.

Ausgesprochen wird der Bruch, indem man den Zähler als Menge und den Nenner als Einheit benennt. Der Zahl im Nenner hängt man dafür die Silbe „-tel“ an. Der Bruch aus dem Beispiel wird also als „fünf Siebtel“ ausgesprochen.

Der Wert eines Bruchs

Wie der Wert eines Bruches zustande kommt, kann man sich anhand eines praktischen Beispiels deutlich machen. Hierfür stellen wir uns vor, dass wir eine Torte aufteilen. Wir teilen sie in eine bestimmte Anzahl von Stücken auf (beispielsweise 8) und nehmen uns sechs dieser Stücke. Dann haben wir »sechs Achtel« der Torte. Die Anzahl der Stücke, in die die Torte insgesamt unterteilt wird, entspricht also dem Nenner und die Anzahl der Stücke, die wir erhalten, dem Zähler.

Im Folgenden werden einige Brüche in Bruchdarstellung und als Strecke abgebildet.

Brüche vergleichen

Wenn man Brüche vergleicht, muss man daran denken, dass der Zähler (steht über dem Bruchstrich) den Bruch größer macht, während der Nenner den Bruch kleiner macht. Das bedeutet, dass von zwei Bruchzahlen mit demselben Nenner der Bruch größer ist, dessen Zähler größer ist. So sind die nächsten drei Brüche der Größe nach sortiert. Anhand der Streckendarstellung erkennt man leicht, dass der Bruch mit dem größten Zähler auch den größten Wert hat.

Umgekehrt verhält es sich bei Brüchen mit gleichem Zähler und unterschiedlich großem Nenner. Bei gleichem Zähler ist der Bruch am größten, der den kleinsten Nenner hat. Die nächsten drei Brüche haben alle denselben Zähler und sind wieder der Größe nach sortiert. In der Streckendarstellung erkennt man leicht, wie größere Nenner (d.h. kleinere Streckenabschnitte) zu kleineren Brüchen führen.

Brüche kürzen und erweitern

Beim Bruchrechnen steht man häufig vor dem Problem, dass zwei Bruchzahlen, die man vergleichen, addieren oder subtrahieren will, unterschiedliche Nenner haben. In diesen Fällen muss man den Nenner von einem oder beiden Brüchen ändern. Dies funktioniert, indem man den Bruch kürzt oder erweitert.

Um Brüche zu erweitern, werden einfach der Zähler und der Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Der Bruch behält dabei seinen Wert, weil sich Zähler und Nenner um denselben Faktor ändern.

Die folgenden vier Brüche haben beispielsweise alle denselben Wert, auch wenn sie alle unterschiedliche Zähler und Nenner haben:

Beim Kürzen von Brüchen geht man den umgekehrten Weg wie beim Erweitern: Anstatt Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren, dividiert man sie durch dieselbe Zahl. Dies geht natürlich nur, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Wenn der Zähler und der Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben, ist es nicht möglich, den Bruch weiter zu kürzen. In diesem Fall spricht man von einem vollständig gekürztem Bruch.

Häufig steht man auch vor der Aufgabe aus einem Bruch einen vollständig gekürzten Bruch herzustellen. Hierfür sucht man nach dem größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner und teilt beide Bestandteile des Bruches durch diese Zahl. Am einfachsten geht dies indem man alle Primfaktoren ermittelt, die gemeinsamen Primfaktoren multipliziert und Zähler und Nenner durch das Ergebnis teilt.

In der folgenden Tabelle sind für vier Brüche jeweils der größte gemeinsame Teiler und die Darstellung als vollständig gekürzter Bruch angegeben:

Bruch	ggT	Vollständig gekürzter Bruch
	3
	4
	3
	4235

Wie man vor allem an dem letzten Beispiel erkennt, kann die Darstellung von Brüchen durch das Kürzen oft erheblich vereinfacht werden.

Brüche nennergleich machen

Zwei Brüche können nur direkt verglichen, addiert oder subtrahiert werden, wenn sie nennergleich sind. In der Bruchrechnung steht man daher oft vor dem Problem, dass man zwei Brüche auf denselben Nenner bringen muss.

Im einfachsten Fall ist der Nenners des einen Bruchs ein Vielfaches des anderen. Dies ist beispielsweise bei den Brüchen 3/5 und 13/15 der Fall. Hier genügt es den Bruch mit dem kleineren Nenner um den Quotienten beider Nenner zu erweitert. So erhalten wir in dem Beispiel die beiden Brüche 9/15 und 13/15.

Falls keiner der beiden Nenner ein Vielfaches des anderen Nenners ist, muss man die Nenner beider Brüche anpassen. Dafür ermittelt man zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache und bringt beide Brüche auf diesen Nenner. Hat man beispielsweise die beiden Brüche 3/4 und 5/6 ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner 12. Um 3/4 auf den Nenner 12 zu bringen, muss man mit 3 erweitern:

Und um 5/6 auf den Nenner 12 zu bringen, muss man mit 2 erweitern:

Oft ist es auch gar nicht notwendig, den kleinsten möglichen gemeinsamen Nenner zu finden. In vielen Fällen reicht es in der Bruchrechnung aus, überhaupt einen gemeinsamen Nenner zu haben. Dann kann man auch einfach jeden der beiden Brüche jeweils um den Nenner des anderen Bruches erweitern. Im Falle von 3/4 und 5/6 erhalten wir so:

und:

Brüche addieren und subtrahieren

Brüche werden addiert oder subtrahiert, indem man sie zunächst nennergleich macht und anschließend ihre Zähler addiert oder subtrahiert. Diese Reihenfolge ist fundamental für die Bruchrechnung. Da hier eine Quelle für viele Fehler liegt, sollte sie jeder Schüler verinnerlichen: Nur nennergleiche Brüche dürfen addiert oder subtrahiert werden.

Wollen wir beispielsweise die Brüche 11/6 und 6/8 addieren, können wir folgendermaßen rechnen:

Brüche multiplizieren

In der Bruchrechnung multipliziert man zwei Brüche, indem man sowohl ihre Zähler, als auch ihre Nenner jeweils miteinander multipliziert. Hierbei entstehen oftmals große Zahlen, weshalb die Ergebnisse soweit möglich gekürzt werden sollten. Andernfalls schleichen sich bei Folgerechnungen schnell Rechenfehler ein, da die Rechnungen sehr kompliziert werden.

Die Brüche 3/7 und 14/9 werden beispielsweise folgendermaßen multipliziert:

Bei sehr großen Zähler und Nenner, kann man auch vor der eigentlichen Multiplikation bereits mit dem Kürzen beginnen. Hierfür schreibt man Zähler und Nenner jeweils als Produkte ihrer Primfaktoren und streicht anschließend alle Faktoren, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen. So multipliziert man die Brüche 60/77 und 22/15 beispielsweise so:

Brüche dividieren

Die Division von zwei Brüchen ist nicht viel schwieriger als die Multiplikation. So wird ein Bruch durch einen anderen dividiert, indem man ihn einfach mit dessen Kehrwert multipliziert. Der Kehrwert (oder auch das Inverse) eines Bruches beschreibt die Zahl, mit der man ihn multiplizieren muss, damit er zu 1 wird. Man kann ihn ganz einfach ermitteln, indem man einfach Nenner und Zähler vertauscht. Von 3/4 ist beispielsweise 4/3 der Kehrwert und von 12/7 ist es 7/12.

Will man den Bruch 5/8 durch 3/4 teilen rechnet man also:

• Warum kürzt man Brüche?
• Was ist ein vollständig gekürzter Bruch?

Brüche werden gekürzt, indem man den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl teilt. Der Wert des Bruches ändert sich dabei nicht. Der Quotient aus Zähler und Nenner bleibt nämlich weiterhin derselbe. Die allgemeine Formel, um einen Bruch zu kürzen, lautet also:

In der folgenden Tabelle sind fünf Brüche dargestellt, die alle denselben Wert haben. Die vier oberen Brüche lassen sich jeweils auf 1/2 (den untersten Bruch) kürzen. Wie man in der Streckendarstellung der Brüche gut erkennt, ändert sich der Wert durch das Kürzen nicht.

Warum kürzt man Brüche?

Brüche werden gekürzt, um die weitere Rechnung einfach zu hälten. Während man mit Brüchen rechnet kann es nämlich schnell vorkommen, dass im Zähler und Nenner große Zahlen stehen. In diesem Fall schleichen sich schnell Rechenfehler ein. Stehen beispielsweise im Zähler und Nenner vier- oder fünfstellige Zahlen, passieren bei der weiteren Rechnung leicht Flüchtigkeitsfehler. Man sollte Brüche kürzen, um solche Situationen zu vermeiden.

Man muss außerdem häufig Brüche kürzen, um ihren Wert zu vergleichen. Hat man beispielsweise die drei Brüche 20/60, 6/18 und 1/3 ist nicht sofort offensichtlich, wie sich die Werte dieser Brüche zueinander verhalten. Kürzt man die ersten beiden Brüche, indem man im ersten Zähler und Nenner durch zwanzig und im zweiten Zähler und Nenner durch sechs erteilt, sieht man dass alle drei Brüche gleich groß sind.

Was ist ein vollständig gekürzter Bruch?

Nicht jeder Bruch lässt sich noch weiter kürzen. Brüche können nämlich nur gekürzt werden, solange der Zähler und der Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Ist dies nicht der Fall, lässt sich der Bruch nicht kürzen. Man spricht in diesem Fall von einem vollständig gekürztem Bruch.

Vollständig gekürzte Brüche liegen insbesondere vor, wenn im Zähler eine Eins steht, wenn sich Zähler und Nenner nur um eins unterscheiden und wenn im Nenner oder Zähler eine Primzahl steht. Doch auch wenn keiner dieser drei Fälle zutrifft, kann es sein, dass sich ein Bruch nicht kürzen lässt, weil Zähler und Nenner teilerfremd sind. Dies kann man am sichersten überprüfen, indem man eine Primfaktorzerlegung von Zähler und Nenner erstellt. Wenn sie keine gemeinsamen Primfaktoren besitzen, kann der Bruch nicht mehr gekürzt werden.

Der folgende Bruch kann beispielsweise gekürzt werden, weil sowohl Zähler, als auch Nenner die Primfaktoren 2 und 3 enthalten:

Der folgende Bruch kann dagegen nicht mehr gekürzt werden, weil Zähler und Nenner teilerfremd sind:

Um einen Bruch vollständig zu kürzen, geht man in zwei Schritten vor: Zuerst ermittelt man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner. Dies ist die größte Zahl, die sowohl den Zähler, als auch den Nenner ohne Rest teilt. Anschließend teilt man Zähler und Nenner durch diese Zahl. Im ersten Beispiel oben ist Beispielsweise der größte gemeinsame Teiler von 126 und 330 die Zahl sechs. Deshalb ist der Bruch vollständig gekürzt, nachdem man ihn mit sechs gekürzt hat.